Автор: КТОН
©, 2012 г.,
мастерская «Фантазеры»,
ГБОУ ЦО № 1811 «Измайлово»
Данный мастер-класс относится ко 3-й серии научно — образовательного сериала КТОН и является иллюстрацией к нему, помогающей разобраться с удивительными свойствами ленты Мебиуса : «КТОН: Математика на бумаге (3 серия)».
Лента Мёбиуса: что это такое?
Лента Мебиуса является одной из самых необыкновенных геометрических фигур, это простейшая односторонняя поверхность с краем. Это лента или полоска бумаги, повернутая одним концом на половину оборота (то есть на 180 градусов) и скрепленная другим с ее концом. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края.
Согласно легенде, немецкий астроном, математик и механик Август Фердинанд Мёбиус, ученик «короля» математиков Гаусса,открыл этот объект после того, как служанка, работающая в его доме, сшила тканевую ленту в кольцо, перевернув по невнимательности один из ее концов.
Изучив свойства ленты, Мёбиус написал о ней статью и отправил в Парижскую академию наук, но ее публикации так и не дождался. Его материалы были опубликованы уже после смерти математика, а необычная поверхность была названа в его честь.
Независимо от Мебиуса, практически в то же время, изучением странных свойств ленты занимался и другой ученик Гаусса, Иоганн Бенедикт Листинг, придумавший термин «топология» и написавший серию основополагающих трудов по этому разделу математики.
Ленту Мёбиуса легко сделать своими руками из самой обычной полоски бумаги и с помощью несложных фокусов убедиться в её необычных свойствах.
Опыт № 1
Склеим ленту, а затем проведём карандашом или фломастером линию-дорожку посередине листа Мёбиуса вдоль всей его длины.
Удивительно, но линия оказалась и внутри и снаружи!
Опыт № 2
А теперь попробуем закрасить полностью только одну сторону листа.
Но у нас ничего не получится: лист закрашен полностью! Почему? Ведь лист никто не переворачивал, чтобы закрасить с другой стороны? Лист Мёбиуса имеет одну поверхность. Внешняя и внутренняя стороны по ходу движения вдоль ленты переходят друг в друга.
Опыт № 3
А теперь возьмём ножницы разрежем ленту по центральной линии-дорожке, которую нарисовали в опыте №1.
Что получилось?
Правильно, не два отдельных кольца, а одна длинная замкнутая полоска, перекрученная дважды.
Опыт № 4
Полученную, после первого разреза ленту, разрежем посередине вдоль центральной линии еще раз.
У вас в руках окажутся две одинаковые, сцепленные между собой ленты Мёбиуса.
Также сцепленные между собой ленты Мебиуса получатся, если мы при склеивании ленты повернем край не один, а два раза.
Опыт № 5
Склеиваем две ленты Мёбиуса, переворачивая полоски в разные стороны, перпендикулярно друг другу. Разрежем по продольным центральным воображаемым линиям. Получаются сцепленные сердца.
Интересно продолжить эксперименты и посмотреть, что получится, если мы разрежем ленту склеенную не с 1 или 2 полуоборотами, а с их большим количеством.
А еще попробуйте разрезать ленту Мебиуса не на две части, а на три.
Где используется лента Мебиуса?
Существует довольно много изобретений, основанных на свойствах этого необычного топологического объекта.
Полоса ленточного конвейера (транспортирующей машины непрерывного действия) сделана в форме ленты Мебиуса. Такая поверхность позволяет увеличить срок использования ленты, так как ее изнашивание будет в таких условиях происходить равномерно.
Использовали форму ленты Мебиуса и при записи на непрерывную пленку.
Красящая лента в матричных принтерах, скрученная в ленту Мёбиуса, служила гораздо дольше, а скрученные в форме этого геометрического объекта лопасти кухонного миксера или бетоносмесителя снижали энергозатраты на 20%, и при этом качество полученной смеси улучшалось.
В форме ленты Мебиуса сделан популярный аттракцион «Американские горки».
Необычные свойства ленты Мебиуса вдохновляют не только ученый и изобретателей, но и представителей искусства.
Самой известной работой, посвященной ленте Мебиуса считается картина Moebius Strip II, Red Ants или Красные Муравьи голландского художника-графика Маурица Эшера. На картине представлены муравьи, карабкающиеся по петле Мебиуса с обеих сторон, на самом деле сторона всего одна. Муравьи ползут по бесконечной петле друг за другом по одной и той же поверхности.
Ленту Мебиуса упоминали в своих произведениях Артур Кларк, Владислав Крапивин, Хулио Кортасар, Харуки Мураками и многие другие.
В 1987 году советский джазовый пианист Леонид Чижик записал альбом «Лента Мёбиуса», в который вошла и одноимённая композиция.
Здания, игровые площадки, обувь, ювелирные украшения и многие другие примеры использования ленты Мебиуса.
Увидеть наглядно ряд опытов с лентой Мебиуса Вы можете, посмотрев серию нашего фильма: КТОН: Математика на бумаге (3 серия).
Мастер-классы к этой серии КТОН:
- Складываем модели оригами. Тюльпан
- Что такое лента Мёбиуса, и как ее используют?
- Как сложить гексафлексагоны?
- Как сложить тетрафлексагоны?
Другие серии КТОН Вы можете увидеть здесь:
- КТОН: Таинственное послание или КТОН разгадывает шифр (1 серия)
- КТОН готовится к Новому году (2 серия)
- КТОН изучает историю Древнего мира. Часть 1. Укрощение огня (4 серия)
Подробнее познакомиться с идеей проекта можно здесь: