Автор: КТОН
©, 2012 г.,
мастерская «Фантазеры»,
ГБОУ ЦО № 1811 «Измайлово»
Данный мастер-класс относится ко 3-й серии научно — образовательного сериала КТОН и является иллюстрацией к нему, помогающей освоить создание флексагонов: «КТОН: Математика на бумаге (3 серия)«.
Что такое флексагоны и откуда они взялись?
Флексагоны (от англ. to flex — гнуть, сгибать) — это такие многоугольники, сложенные из полос бумаги, которые обладают необычным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые поверхности неожиданно выходят наружу.
Их открытие произошло в конце 1939 года и оказалось связано с различием форматов бумаги, принятой в Англии и в США.
Однажды аспирант-математик из Англии, Артур Х. Стоун, обучающийся на тот момент в Принстоне, обрезал листы американского блокнота, желая подогнать их под привычный и удобный для себя формат. Во время одного из перерывов в работе он обратил внимание на полоски бумаги, которые остались у него после обрезания страниц блокнота. Он крутил их в раках, сгибая и разгибая, пока случайно сложил нечто, заинтересовавшее его.
Стоун обратил внимание на то, что когда шестиугольник раскрывался словно бутон, видимой становилась совсем иная поверхность. Пометив открытую сторону, он продолжил эксперименты и обнаружил, что сложенное нечто имело три различных поверхности.
Это нечто оказалось первым сложенным тригексафлексагоном.
Складываем тригексафлексагон
Тригексафлексагон складывают из полоски бумаги, предварительно размеченной на 10 равносторонних треугольников, как показано на рисунке 1:
Полоску перегибают по линии ab и переворачивают, как на рисунке 2:
Перегнув полоску еще раз по линии cd, расположим ее концы так, чтобы предпоследний треугольник оказался наложенным на первый (рисунок 3):
Последний треугольник нужно подогнуть вниз и прикрепить к оборотной стороне первого треугольника (рисунок 4):
Развертку трифлексагона нужно перечертить и вырезать из полоски достаточно плотной бумаги шириной около 3-4 см. Сгибается флексагон следующим образом (рисунок 5):
Как появился «Флексагонный комитет» и что у них получилось?
После ночи размышлений Стоун убедился, что можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трёх.
Новая модель показалась Стоуну весьма интересной, чтобы познакомить с ней друзей и вскоре был создан «Флексагонный комитет», куда вошли сам Стоун, аспирант-математик Бриан Таккерман, аспирант-физик Ричард Фейнман и молодой преподаватель математики Джон У. Тьюки.
Исследования, проведенные заинтересовавшимися учеными, показали, что флексагоны можно складывать с различным числом поверхностей, например, с 9, 12, 15 и другими. Таккерману удалось сделать действующую модель флексагона с 48 поверхностями. Он также обнаружил, что из зигзагообразной полоски бумаги можно сложить тетрагексафлексагон (с четырьмя) и пентагексафлексагон (с пятью поверхностями).
Все эти модели были названы гексафлексагонами: «гекса» – из-за их шестиугольной формы (от греческого «гекс», что означает шесть), «флексагонами» – из-за их способности складываться (To flex[англ.] – складываться, сгибаться, гнуться).
Полная математическая теория флексагонов была разработана в 1940 году Тьюки и Фейнманом. Она в частности указывает точный способ построения флексагонов с любым числом сторон, причём именно той разновидности, которая требуется.
Складываем гексагексафлексагон
Для второй модели Стоуна нам понадобится полоска, состоящая из 19 равносторонних треугольников.
Для сборки модели Вы можете распечатать прилагающийся файл, вырезать размеченные полоски и склеить их между собой:
Далее нанесите на полученные полоски бумаги разметку, как показано на рисунке 6:
Каждая цифра встречается ровно 6 раз, обозначая номер поверхности будущего флексагона, а пустые треугольники будут впоследствии склеены между собой, образуя замкнутость сложенной фигуры.
Вместо цифр треугольники можно раскрасить в различные цвета (каждой цифре должен соответствовать только один цвет) или нарисовать на них какую-нибудь геометрическую фигуру.
Чтобы не запутаться при первом складывании, мы рекомендуем нанести сначала простым карандашом цифры, а затем, сложив фигуру, стереть их и разукрасить флексагон, как Вам больше понравится.
После нанесения цифр полоску складывают так, чтобы треугольники на ее обратной стороне, имеющие одинаковые цифры, оказались наложенными друг на друга — 4 на 4, 5 на 5, 6 на 6. В результате у нас получится заготовка гексагексафлексагона, показанная на рисунке 7:
Последующая сборка будет похожа на сборку флексагона с тремя поверхностями. Перегнув ее по линиям ab и cd, получим шестиугольник (рисунок 8):
Остается лишь подвернуть вниз торчащий вправо пустой треугольник и приклеить его к пустому треугольнику на нижней стороне полоски. Проделать все эти операции намного легче, чем описать.
Если все сделано верно, то во всех треугольниках на видимой стороне должна стоять цифра 1, а во всех треугольниках на другой стороне — цифра 2 (рисунок 9):
Открываться он будет также, как и тригексафлексагон, однако не все стороны будут попадаться Вам одинаково часто: поверхности с цифрами 4, 5 и 6 найти будет несколько труднее, чем поверхности с цифрами 1, 2 и 3.
Таккерман довольно быстро нашел простейший способ выявления всех поверхностей любого флексагона: держа флексагон за какой-нибудь угол, следует открывать фигуру до тех пор, пока она «открывается», а затем переходить к следующему углу. Этот метод, известный как «путь Таккермана», позволяет увидеть все шесть разворотов гексагексафлексагонов за один цикл из 12 перегибаний.
Увидеть наглядно, как собирается гексафлексагон и находятся его стороны Вы можете, посмотрев серию нашего фильма: КТОН: Математика на бумаге (3 серия).
Мастер-классы к этой серии КТОН:
- Складываем модели оригами. Тюльпан
- Что такое лента Мёбиуса, и как ее используют?
- Как сложить гексафлексагоны?
- Как сложить тетрафлексагоны?
Другие серии КТОН Вы можете увидеть здесь:
- КТОН: Таинственное послание или КТОН разгадывает шифр (1 серия)
- КТОН готовится к Новому году (2 серия)
- КТОН изучает историю Древнего мира. Часть 1. Укрощение огня (4 серия)
Подробнее познакомиться с идеей проекта можно здесь:
Создание игровых образовательных фильмов «КТОН«
Для написания статьи и серии КТОН, мы пользовались материалами:
Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. Пер. с англ. Ю.А. Данилова. М.: «Мир», 1971. 511 с. с ил., главы «Гексафлексагоны (с.11-22), «Тетрафлексагоны» (с.162-169)